लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें

विषय

• चरणों
• प्रारंभिक: पता है कि लॉगरिदमिक समीकरण को शक्तियों के साथ समीकरण में कैसे बदलना है
• विधि 1 ढूँढें एक्स
• विधि 2 ढूँढें एक्स लघुगणक उत्पाद नियम का उपयोग करना
• विधि 3 ढूँढें एक्स टी लघुगणक भागफल नियम का उपयोग करते हुए

लॉगरिदमिक समीकरण, पहली नज़र में, गणित में हल करने के लिए सबसे आसान नहीं हैं, लेकिन उन्हें घातांक (घातीय संकेतन) के साथ समीकरणों में बदला जा सकता है। इस प्रकार, यदि आप इस परिवर्तन को करने का प्रबंधन करते हैं और यदि आप शक्तियों के साथ गणना में महारत हासिल करते हैं, तो आपको इस तरह के समीकरणों को आसानी से हल करना चाहिए। एनबी: शब्द "लॉग" का उपयोग "लॉगरिथम" के बजाय समय-समय पर किया जाएगा, वे विनिमेय हैं।

चरणों

प्रारंभिक: पता है कि लॉगरिदमिक समीकरण को शक्तियों के साथ समीकरण में कैसे बदलना है

1. 
   

   
   आइए लघुगणक की परिभाषा के साथ शुरू करें। यदि आप लघुगणकों की गणना करना चाह रहे हैं, तो जान लें कि वे शक्तियों को व्यक्त करने के एक विशेष तरीके से ज्यादा कुछ नहीं हैं। चलो लघुगणक की क्लासिक स्थितियों में से एक पर शुरू करते हैं:
   • y = लॉग_ख (एक्स)
     • यदि और केवल यदि: बी = एक्स
   • ख लघुगणक का आधार है। दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
     • b> ० (बी सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए)
     • ख के बराबर नहीं होना चाहिए 1
   • घातीय संकेतन में (ऊपर दूसरा समीकरण), वहाँ शक्ति है और एक्स तथाकथित घातीय अभिव्यक्ति है, वास्तव में जिसका मूल्य लॉग के लिए दिखता है।

2. 
   

   
   
   
   समीकरण को बारीकी से देखें। एक लघुगणकीय समीकरण के सामने, हमें आधार (b), शक्ति (y) और घातीय अभिव्यक्ति (x) की पहचान करनी चाहिए।
   • उदाहरण : 5 = लॉग₄(1024)
     • बी = ४
     • य = ५
     • x = 1024

3. 
   

   
   समीकरण के एक तरफ घातीय अभिव्यक्ति रखें। स्थान, उदाहरण के लिए, आपका मूल्य एक्स "=" चिन्ह के बाईं ओर।
   • उदाहरण : 1024 = ?

4. 
   

   
   संकेतित शक्ति को आधार बढ़ाएं। डेटाबेस को सौंपा गया मूल्य (ख) जितनी बार बिजली इंगित करती है, उससे कई गुना अधिक होनी चाहिए (वहाँ).
   • उदाहरण : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • शॉर्टहैंड में, यह देता है: 4

5. 
   

   
   
   
   अपना उत्तर लिखो। अब आप घातीय संकेतन में लघुगणक को फिर से लिखने में सक्षम हैं। सुनिश्चित करें कि गणना को फिर से करने से आपकी समानता सही है।
   • उदाहरण : 4 = 1024

विधि 1 ढूँढें एक्स

1. 
   

   
   लघुगणक को अलग करें। लक्ष्य वास्तव में पहली बार लॉग इन करना है। इसके लिए, हम समीकरण के दूसरी तरफ सभी गैर-लघुगणक सदस्यों को पास करते हैं। ऑपरेटिव संकेतों को उल्टा करने के लिए मत भूलना!
   • उदाहरण : लॉग करें₃(एक्स + 5) + 6 = 10
     • लॉग₃(एक्स + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • लॉग₃(एक्स + 5) = 4

2. 
   

   
   समीकरण को घातीय रूप में लिखें। "X" को खोजने में सक्षम होने के लिए, आपको लॉगरिदमिक नोटेशन से घातीय संकेतन तक जाना होगा, बाद वाले को हल करना आसान होगा।
   • उदाहरण : लॉग करें₃(एक्स + 5) = 4
     • सैद्धांतिक समीकरण से शुरू y = लॉग_ख (एक्स)], इसे हमारे उदाहरण पर लागू करें: y = 4; बी = 3; x = x + 5
     • समीकरण को इस प्रकार लिखें: b = x
     • हम यहां प्राप्त करते हैं: 3 = x + 5

3. 
   

   
   खोज एक्स. अब आप पहली डिग्री के एक समीकरण के साथ सामना कर रहे हैं, जिसे हल करना आसान है। यह दूसरी या तीसरी डिग्री हो सकती है।
   • उदाहरण : 3 = x + 5
     • (३) (३) (३) (३) = x + ५
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = एक्स

4. 
   

   
   अपना निश्चित उत्तर दर्ज करें। "X" के लिए आपको जो मूल्य मिला है, वह आपके लघुगणक समीकरण का उत्तर है: लॉग₃(एक्स + 5) = 4.
   • उदाहरण : x = =६

विधि 2 ढूँढें एक्स लघुगणक उत्पाद नियम का उपयोग करना

1. 
   

   
   आपको लॉग के उत्पाद (गुणन) से संबंधित नियम पता होना चाहिए। लॉग की पहली संपत्ति के अनुसार, जो लॉग्स के उत्पाद की चिंता करता है (उसी बेस सेंटेंड के!), किसी उत्पाद का लॉग उत्पाद के तत्वों के लॉग के योग के बराबर होता है। उदाहरण:
   • लॉग_ख(m x n) = लॉग_ख(एम) + लॉग_ख(एन)
   • दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
     • म> ०
     • n> 0

2. 
   

   
   समीकरण के एक तरफ लॉग को अलग करें। लक्ष्य वास्तव में पहले लॉग में अलग करना है। इसके लिए, हम समीकरण के दूसरी तरफ सभी गैर-लघुगणक सदस्यों को पास करते हैं। ऑपरेटिव संकेतों को उल्टा करने के लिए मत भूलना!
   • उदाहरण : लॉग करें₄(x + 6) = 2 - लॉग₄(एक्स)
     • लॉग₄(x + 6) + लॉग₄(x) = 2 - लॉग₄(x) + लॉग₄(एक्स)
     • लॉग₄(x + 6) + लॉग₄(x) = 2

3. 
   

   
   लॉग के उत्पाद के विषय में नियम लागू करें। यहां, हम इसे विपरीत दिशा में लागू करेंगे, अर्थात् लॉग का योग उत्पाद के लॉग के बराबर है। हमें क्या देता है:
   • उदाहरण : लॉग करें₄(x + 6) + लॉग₄(x) = 2
     • लॉग₄ = 2
     • लॉग₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   शक्तियों के साथ समीकरण को फिर से लिखें। स्मरण करो कि एक लघुगणक समीकरण घातांक के साथ एक समीकरण में बदल सकता है। पहले की तरह, हम समस्या को हल करने में मदद करने के लिए घातीय संकेतन पर जाएंगे।
   • उदाहरण : लॉग करें₄(x + 6x) = 2
     • सैद्धांतिक समीकरण से शुरू करते हुए, इसे हमारे उदाहरण पर लागू करते हैं: y = 2; बी = 4; x = x + 6x
     • समीकरण को इस प्रकार लिखें: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   खोज एक्स. अब आप एक दूसरे डिग्री समीकरण के साथ सामना कर रहे हैं, जिसे हल करना आसान है।
   • उदाहरण : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16 - 16 = x + 6x - 16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   अपना उत्तर लिखो। अक्सर, हमारे पास दो उत्तर (जड़) होते हैं। इन दो मूल्यों के उपयुक्त होने पर इसे प्रारंभिक समीकरण में जांचा जाना चाहिए। दरअसल, हम एक ऋणात्मक संख्या के लॉग की गणना नहीं कर सकते हैं! केवल मान्य उत्तर दर्ज करें।
   • उदाहरण : x = 2
   • हम इसे पर्याप्त रूप से याद नहीं करेंगे: एक नकारात्मक संख्या का लॉग मौजूद नहीं है, इसलिए आप यहां, खारिज कर सकते हैं - 8 एक समाधान के रूप में। यदि हम -8 को उत्तर के रूप में लेते हैं, तो मूल समीकरण में, हमारे पास होगा: लॉग₄(-8 + ६) = २ - लॉग₄(-8), यानी लॉग₄(-2) = २ - लॉग₄(-8)। एक नकारात्मक मान के लॉग की गणना नहीं कर सकता!

विधि 3 ढूँढें एक्स टी लघुगणक भागफल नियम का उपयोग करते हुए

1. 
   

   
   आपको उस नियम को जानना चाहिए जो लॉग के विभाजन की चिंता करता है। लॉग की दूसरी संपत्ति के अनुसार, जो लॉग के विभाजन की चिंता करता है (उसी आधार के आधार पर!), एक भागफल का लॉग अंश के लॉग और हर के लॉग के अंतर के बराबर होता है। उदाहरण:
   • लॉग_ख(m / n) = लॉग_ख(एम) - लॉग_ख(एन)
   • दो शर्तें पूरी होनी चाहिए:
     • म> ०
     • n> 0

2. 
   

   
   समीकरण के एक तरफ लॉग को अलग करें। लक्ष्य वास्तव में पहले लॉग में अलग करना है। इसके लिए, हम समीकरण के दूसरी तरफ सभी गैर-लघुगणक सदस्यों को पास करते हैं। ऑपरेटिव संकेतों को उल्टा करने के लिए मत भूलना!
   • उदाहरण : लॉग करें₃(x + 6) = 2 + लॉग₃(x - 2)
     • लॉग₃(x + 6) - लॉग करें₃(x - 2) = 2 + लॉग₃(x - 2) - लॉग₃(x - 2)
     • लॉग₃(x + 6) - लॉग₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   लॉग भागफल नियम लागू करें। यहां, हम इसे विपरीत दिशा में लागू करेंगे, अर्थात् लॉग का अंतर भागफल के लॉग के बराबर है। हमें क्या देता है:
   • उदाहरण : लॉग करें₃(x + 6) - लॉग करें₃(x - 2) = 2
     • लॉग₃ = 2

4. 
   

   
   शक्तियों के साथ समीकरण को फिर से लिखें। स्मरण करो कि एक लघुगणक समीकरण घातांक के साथ एक समीकरण में बदल सकता है। पहले की तरह, हम समस्या को हल करने में मदद करने के लिए घातीय संकेतन पर जाएंगे।
   • उदाहरण : लॉग करें₃ = 2
     • सैद्धांतिक समीकरण से शुरू करते हुए, इसे हमारे उदाहरण पर लागू करते हैं: y = 2; बी = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • समीकरण को इस प्रकार लिखें: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   खोज एक्स. अब जब अधिक लॉग नहीं हैं, लेकिन शक्तियां हैं, तो आपको आसानी से ढूंढना चाहिए एक्स.
   • उदाहरण : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; हम दोनों पक्षों को गुणा करते हैं (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   अपना निश्चित उत्तर दर्ज करें। अपनी गणना वापस लें और एक जांच करें। जब आप अपने उत्तर के बारे में सुनिश्चित हों, तो इसे निश्चित रूप से लिखें।
   • उदाहरण : x = 3